Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=a，a_n+1+a_n=4n-56（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）是否存在a，使得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n與|a_n+1+a_n-a|同時(shí)取到最小值，若存在，求a的取值范圍．若不存在，說明理由．
（3）若a=-27，數(shù)列{b_n}滿足條件b₁=b₁₅，且，求b₁₀₀的整數(shù)部分．

Answer 1

解：（1）由于a_n+1+a_n=4n-56，（n∈N*），
∴a_n+2+a_n+1=4n-52，
∴a_n+2-a_n=4．
∴{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別是公差為4的等差數(shù)列．
又a₁=a，
∴a₂=-52-a，
∴------（4分）
（2）------（6分）
當(dāng)n=14時(shí)，n²-28n取到最小值為-196，
當(dāng)n=13或15時(shí)，n²-28n+a+27取到最小值為-168+a，----（8分）
∵，
當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，n=14取到最小值．
∴-168+a≥-196，
即a≥-28
∴-2≤a≤2
當(dāng)-6≤a＜-2或2＜a≤6時(shí)，n=13或15取到最小值．
∴-168+a≤-196，即a≤-28
∴a不存在------（10分）
綜上，存在這樣的實(shí)數(shù)a，取值范圍為-2≤a≤2--（12分）
（3）由已知b²_n+1=b²_n++2，即b²_n+1-b²_n=+2
由累差迭加得b²₁₀₀-b²₁=（++…+）+198＞198
∴b₁₀₀＞14 （14分）
顯然{b_n}遞增，b₁=a₁₅=1，b₂=2，當(dāng)n＞2時(shí)，b_n＞2，
∴b²₁₀₀-b²₁=+（+…+）+198＜1++198＜224
∴b₁₀₀＜15 （16分）
∴b₁₀₀的整數(shù)部分為14 （18分）
分析：（1）再寫一式，兩式相減可知∴{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別是公差為4的等差數(shù)列． 從而分段可寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）分段求前n項(xiàng)和為S_n，再求S_n與|a_n+1+a_n-a|同時(shí)取到最小值，從而可解；
（3）由已知b²_n+1=b²_n++2，即b²_n+1-b²_n=+2，由累差迭加得b²₁₀₀-b²₁=（++…+）+198＞198，從而可確定b₁₀₀的整數(shù)部分．
點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的和，有較強(qiáng)的綜合性．