解:(1)∵f(x)滿足f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的圖象關于直線x=1對稱.
而二次函數f(x)的對稱軸為x=
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,∴
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=1.①
又f(x)=
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-x有等根,即ax
2+(b+1)x-2=0有等根,∴△=(b+1)
2+8a=0.②
由①,②得 b=1,a=-
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.
∴f(x)=-
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x
2+x+
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.
(2)∵函數f(x)=-
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x
2+x+
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的對稱軸方程為x=1,
若t≤1,f(x)在(-1,t]上為增函數,此時
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由
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,得:(t-1)
2=0,∴t=1
若1<t<3,則
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若t≥3,f(x)
min=f(t),與題意不符
所以f(x)在定義域(-1,t]上的值域為(-1,1]的t的取值范圍是[1,3).
(3)如果存在滿足要求的m,n(m<n)使得f(x)定義域和值域分別為[m,n]和[2m,2n],
那么當m<n≤1時,有
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,即
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,解得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/253265.png)
當1≤m<n時,有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/253266.png)
,即
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,次方程無解
當m<1,n>1時,由f(x)
max=f(1)=1=2n,得:n=
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,不合題意,
所以存在實數
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,使f(x)定義域和值域分別為[m,n]和[2m,2n].
分析:(1)由已知中f (1+x)=f (1-x),可得f(x)的圖象關于直線x=1對稱,結合方程f (x)=x有等根其△=0,我們可構造關于a,b的方程組,解方程組求出a,b的值,即可得到f (x)的解析式;
(2)因為二次函數的對稱軸方程為x=1,且(1)中求出的二次函數開口向下,所以對t進行分類討論,當t≤1時,函數在(-1,t]上為增函數,函數的最大值為f(t),由f(t)=1求t的值,當1<t<3時,函數的最大值為f(1),看f(1)是否等于1,當t≥3時,函數有最小值,與題意不符;
(3)由(1)中函數的解析式,若f(x)的定義域和值域分別為[m,n]和[2m,2n],我們分n≤1,m≥1,及m<1、n>1三種情況討論,根據函數在[m,n]的單調性,進而構造出滿足條件的方程,解方程即可得到答案.
點評:本題考查考查了函數解析式的求解及常用方法,考查了函數定義域及值域的求法,重點考查了分類討論的數學思想,對于存在性問題可先假設其存在,然后推出正確的解答或得出矛盾.