Question

12．過(guò)雙曲線(xiàn)$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦點(diǎn)F作直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，使得|AB|=4b，若這樣的直線(xiàn)有且僅有兩條，則離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． $（{1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$
• B． $（{\sqrt{5}，+∞}）$
• C． $（{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\sqrt{5}}）$
• D． $（{1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）∪（{\sqrt{5}，+∞}）$

Answer 1

分析 根據(jù)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交的情形，分兩種情況討論：①AB只與雙曲線(xiàn)右支相交，②AB與雙曲線(xiàn)的兩支都相交，分析其弦長(zhǎng)的最小值，利用符合條件的直線(xiàn)的數(shù)目，綜合可得答案．

解答 解：由題意過(guò)雙曲線(xiàn)$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦點(diǎn)F作直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，使得|AB|=4b，若這樣的直線(xiàn)有且僅有兩條，可得$\frac{2^{2}}{a}$＜|AB|=4b，并且2a＞4b，e＞1，
可得：e＞$\sqrt{5}$或1$＜e＜\frac{\sqrt{5}}{2}$
綜合可得，有2條直線(xiàn)符合條件時(shí)，：e＞$\sqrt{5}$或1$＜e＜\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的關(guān)系，解題時(shí)可以結(jié)合雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，分析直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的相交的情況，分析其弦長(zhǎng)最小值，從而求解；要避免由弦長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算．