Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．
（1）設(shè)M是PC上的一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

（Ⅰ）證明：在△ABD中，∵AD=4，BD=，AB=8，AD²+BD²=AB²．
∴AD⊥BD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD．又BD?平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD．
（Ⅱ）過P作PO⊥AD交AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．即PO為四棱錐P-ABCD的高．
又∵△PAD是邊長為4的等邊三角形，
∴PO==h．
在Rt△ADB中，斜邊AB邊上的高為，此即為梯形ABCD的高．
∴梯形ABCD的面積S_ABCD==12．
故=．
分析：（I）利用勾股定理的逆定理和面面的判定與性質(zhì)定理、線面的判定定理即可證明；
（II）利用線面垂直的判定找出四棱錐的高，利用體積計算公式即可得出．
點評：熟練掌握勾股定理的逆定理和面面的判定與性質(zhì)定理、線面的判定定理、四棱錐體積計算公式是解題的關(guān)鍵．