Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2ax（a＞0）．
（1）求函數(shù)在[0，2]上的最大值g（a）表達(dá)式；
（2）若a=1．函數(shù)在區(qū)間[m，n]的值域也是[m，n]（n＞m），求m，n 的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²的圖象的對(duì)稱軸方程為x=a，分類討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)在[0，2]]內(nèi)的最大值為g（a）．
（2）討論區(qū)間端點(diǎn)與對(duì)稱軸x=1的位置關(guān)系，確定區(qū)間的單調(diào)性，從而得到關(guān)于m，n的方程解之．

解答： 解：（1）f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²的圖象的對(duì)稱軸方程為x=a，
當(dāng)0＜a≤1，f（x）在[0，a]上為減函數(shù)，在[a，2]上為增函數(shù)，且f（2）＞f（0）．∴f（x）的最大值為f（2）=3-4a；
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，f（x）在[0，a]上為減函數(shù)，在[a，2]上為增函數(shù)，且f（0）＞f（2），∴f（x）的最大值為f（0）=-1；
當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）在[0，2]上為減函數(shù)，f（x）的最大值為f（0）=-1，
綜上所述，g（a）=

3-4a，0＜a≤1 -1，a＞1

；
（2）若a=1．函數(shù)f（x）=x²-2x在區(qū)間[m，n]的值域也是[m，n]（n＞m），
當(dāng)m≥1時(shí)，函數(shù)在[m，n]是增函數(shù)，所以f（m）=m，f（n）=n，即m，n是方程x²-2x=0兩根，所以m=0，n=2；
當(dāng)n≤1時(shí)，函數(shù)在[m，n]是減函數(shù)，所以f（m）=n，f（n）=m，即m²-2m=n，n²-2n=m，解得m=

1- 13

2

，n=

5+ 13

2

與n＜1矛盾；
當(dāng)m＜1＜n時(shí)，函數(shù)在[m，1]上是遞減函數(shù)，在1[，n]是遞增函數(shù)，所以f（1）=m，即m=-1；f（m）=n或者f（n）=n，即m²-2m=n，或者n²-2n=0，解得n=3，或者n=2；
所以m=0，n=2或者m=-1，n=3或者m=-1，n=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．