Question

定義區(qū)間（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的長(zhǎng)度均為n-m，其中n＞m．
（1）若關(guān)于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長(zhǎng)度為

6

，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）已知A={x|

7

x+1

＞1}，B={x|

x＞0 tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

，若A∩B構(gòu)成的各區(qū)間長(zhǎng)度和為6，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=0時(shí)，不符合題意．當(dāng)a≠0時(shí)，由題意關(guān)于x的方程2ax²-12x-3=0的兩根設(shè)為x₁、x₂，滿足|x1-x2| =

6

，利用根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行配方，列出關(guān)于a的方程，再結(jié)合根的判別式解之，即可得到實(shí)數(shù)a的值；
（2）先解分式不等式，得不等式

7

x+1

＞1的解集A=（-1，6），再結(jié)合集合B的不等式組，得當(dāng)x∈（0，6）時(shí)不等式組

tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

恒成立．最后討論一元一次不等式tx+3t＞0和一元二次不等式tx²+3tx-4＜0在（0，6）都恒成立，即可得到實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，不等式為-12x-3＞0，顯然不符合合題意；--------（1分）
當(dāng)a≠0時(shí)，方程2ax²-12x-3=0的兩根設(shè)為x₁、x₂，
則△=144+24a＞0且a＜0，得-6＜a＜0
∵x1+x2=

6

a

，x1x2=-

3

2a

，（3分）
∴6=|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=

36

a2

+

6

a

，得a=-2或a=3（舍），所以a=-2．（6分）
（2）先解不等式

7

x+1

＞1，整理得

-x+6

x+1

＞0，即（x+1）（x-6）＜0，
所以不等式

7

x+1

＞1的解集A=（-1，6），--------------------------------------------（8分）
又∵B⊆（0，+∞），A∩B⊆（0，6），-------------（10分），
∴不等式組的解集各區(qū)間長(zhǎng)度和為6，所以當(dāng)x∈（0，6）時(shí)恒成立．
當(dāng)x∈（0，6）時(shí)，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0；-----------------（12分）
當(dāng)x∈（0，6）時(shí)，不等式tx²+3tx-4＜0恒成立，即t＜

4

x2+3x

恒成立，
而x∈（0，6）時(shí)，

4

x2+3x

的取值范圍為(

2

27

，+∞)，所以實(shí)數(shù)t≤

2

27

；--------（15分）
綜上所述，t的取值范圍為(0，

2

27

]-------------（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出區(qū)間長(zhǎng)度的定義，要求我們根據(jù)這個(gè)定義討論不等式組的解集．著重考查了一元二次不等式的解法和含有參數(shù)的不等式恒成立的討論等知識(shí)，屬于中檔題．