Question

①已知α⊥β，a⊥β，a?α；求證：a∥α．
②已知a⊥β，a∥α；求證：α⊥β．

Answer 1

證明：（1）在平面α內作直線b垂直于α與β的交線，
∵α⊥β∴b⊥β
又∵a⊥β∴a∥b
∴a∥α
（2）過直線a作平面γ，有γ∩α=b，
∵a∥α，∴a∥b
又∵a⊥β∴b⊥β
∴α⊥β．
分析：（1）在平面α內作直線b垂直于α與β的交線，由面面垂直的性質定理可得b⊥β，再結合a⊥β，根據垂直于同平面的兩直線平行，可得a∥b，進而有線面平行的判定定理得到結論．
（2）過直線a作平面γ，有γ∩α=b，由線面平行的性質定理可得a∥b，再由平行線中的一條垂直一個平面另一條也垂直這個平面可得b⊥β
進而有面面垂直的判定定理得到結論．
點評：本題主要考查線面，面面平行，垂直的判定定理和性質定理的靈活運用，兩者間要靈活轉化，構建定理模型是關鍵，屬中檔題．