Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD底面是直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點，PA=AD=AB=1．
（1）證明：EB∥平面PAD；
（2）證明：BE⊥平面PDC；
（3）求三棱錐B-PDC的體積V．

Answer 1

分析：（1）取PD中點Q，連EQ，AQ，由已知條件及平行四邊形的判定定理，可得四邊形ABEQ是平行四邊形，進而得到BE∥AQ，進而由線面平行的判定定理得到EB∥平面PAD；
（2）由已知中PA⊥底面ABCD，由線面垂直的性質(zhì)可得PA⊥CD，結(jié)合CD⊥AD，和線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，進而由線面垂直性質(zhì)得到CD⊥AQ，由三線合一得到AQ⊥PD，進而根據(jù)線面垂直的判定定理及第二判定定理得到BE⊥平面PDC；
（3）由等體積法可得三棱錐B-PDC的體積等于三棱錐P-BDC，求出底面△BDC及高PA的值，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：解（1）證明：取PD中點Q，連EQ，AQ，則QE=

1

2

CD=AB…（1分）

QE∥CD CD∥AB QE=AB

⇒QE

∥ .

.

AB…（2分）⇒四邊形ABEQ是平行四邊形⇒BE∥AQ…（3分）

BE∥AQ AQ?平面PAD BE?平面PAD

⇒BE∥平面PAD…（5分）
（2）證明：

PA⊥平面ABCD CD?平面ABCD

⇒PA⊥CD，
又∵CD⊥AD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD
又∵AQ?平面PAD
∴AQ⊥CD，
又∵PA=AD，Q為PD的中點
∴AQ⊥PD，
又∵PD∩CD=D

⇒AQ⊥平面PCD BE∥AQ

⇒BE⊥平面PCD．…（10分）
（3）S△BDC=

1

2

AD•DC=

1

2

×1×2=1…（11分）
VB-PDC=VP-BDC=

1

3

PA•S△BDC=

1

3

．…（13分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，錐錐的體積，其中（1）的關(guān)鍵是在平面PAD中找到BE∥AQ，（2）的關(guān)鍵是熟練掌握線線垂直與線面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，（3）的關(guān)鍵是由等體積法將三棱錐B-PDC的體積化為三棱錐P-BDC．