Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x+2

（x∈R且x≠-2）．
（Ⅰ）函數(shù)y=f（x）圖象是否是中心對(duì)稱圖形，如果是求出其對(duì)稱中心，并給予證明；如果不是請(qǐng)說出理由．（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=-

1

2

，a_n+1=f（a_n）．
①求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
②求證：（2-a_n）ⁿ⁺¹（-a_n）ⁿ＞1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)y=

1

x

的圖象和性質(zhì)判斷出f（x）=

a

x+2

（x∈R且x≠-2）．設(shè)點(diǎn)圖象上的任意一點(diǎn)P₁（x₀，y₀），則關(guān)于（-2，0）的對(duì)稱點(diǎn)為P₂（-4-x₀，-y₀），把P₂（-4-x₀，-y₀）代入驗(yàn)證即可．
（Ⅱ）①化簡(jiǎn)得出

1

an+1+1

-

1

an+1

=1，判斷等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解．②轉(zhuǎn)化為證（n+1）ln（1+

1

n+1

）＞nln（1+

1

n

），構(gòu)造函數(shù)g（x）=

1

x

ln（1+x）即證g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷分析，再次求導(dǎo)判斷符號(hào)．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)y=

1

x

的對(duì)稱中心（0，0），
∴函數(shù)y=f（x）=

a

x+2

的對(duì)稱中心為（-2，0），
∴函數(shù)y=f（x）圖象是中心對(duì)稱圖形，
證明：設(shè)圖象上的任意一點(diǎn)P₁（x₀，y₀），則關(guān)于（-2，0）的對(duì)稱點(diǎn)為P₂（-4-x₀，-y₀）
∵y₀=

a

x0+2

，

a

-4-x0+2

=

a

-x0-2

=-

a

x0+2

=-y0
∴P₂（-4-x₀，-y₀）在函數(shù)圖象上，
∴函數(shù)y=f（x）圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為（-2，0）．
（Ⅱ）①當(dāng)a=-1時(shí)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=-

1

2

，a_n+1=f（a_n）．
得出a_n+1=-

1

an+2

，
a_n+1+1=

an+1

an+2

由a_n+1=0，與a₁=-

1

2

矛盾
∴

1

an+1+1

-

1

an+1

=1
∴{

1

an+1

}為首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列
∴

1

an+1

=2+n-1=n+1
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=-

n

n+1

②由a_n=-

n

n+1

代入要證明（2+a_n）ⁿ⁺¹（-a_n）ⁿ＞1，即證（1+

1

n+1

）ⁿ⁺¹＞(1+

1

n

)n
只需證（n+1）ln（1+

1

n+1

）＞nln（1+

1

n

），令函數(shù)g（x）=

1

x

ln（1+x）即證g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
g′（x）=

x x+1 -ln(1+x)

x2

，令h（x）=

x

x+1

-ln（1+x）（x＞0）
h′（x）=

1

x+1

（

1

x+1

-1），∵x＞0，∴h′（x）=

1

x+1

（

1

x+1

-1）＜0
∴h（x）=

x

x+1

-ln（1+x）（x＞0）單調(diào)遞減，
∴h（0）=0，h（x）＜h（0）=0
∴g′（x）＜0，即函數(shù)g（x）=

1

x

ln（1+x）即證g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
故不等式（2-a_n）ⁿ⁺¹（-a_n）ⁿ＞1成立．
，∴h′(x)＜0即函數(shù)h(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，有關(guān)數(shù)列的不等式，轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性，借助導(dǎo)數(shù)研究，綜合性很強(qiáng)，做題思路要清晰，認(rèn)真．