Question

已知命題①：函數(shù)y=ax²-2ax+a+1的圖象總在x軸上方；命題②：關(guān)于x的方程（a-1）x²+（2a-4）x+a=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）若命題①為真，求a的取值范圍；
（2）若命題②為真，求a的取值范圍；
（3）若命題①、②中至多有一個命題為真，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=0時，y=1，符合題意；當a≠0時，由

a＞0 △＜0

求得a的取值范圍．
（2）方程兩個不相等的實數(shù)根?

a-1≠0 △＞0

?

a≠1 a＜ 4 3

，由此求得a的取值范圍．
（3）設A={a|a≥0}，B={x|a＜1或1＜a＜

4

3

}，若命題①、②全都是真命題，則a的范圍為A∩B，則A∩B的補集為所求．

解答：解：（1）a=0時，y=1，符合題意；
當a≠0時，由

a＞0 △＜0

求得 a＞0，故a的取值范圍為[0，+∞）． …（4分）
（2）方程兩個不相等的實數(shù)根?

a-1≠0 △＞0

?

a≠1 a＜ 4 3

，
即a＜1或1＜a＜

4

3

，故a的取值范圍為（-∞，1）∪（1，

4

3

）． …（10分）
（3）設A={a|a≥0}，B={x|a＜1或1＜a＜

4

3

}，若命題①、②全都是真命題，
則a的范圍為 A∩B={a|0≤a＜1或1＜a＜

4

3

}，
故當命題①、②中至多有一個命題為真時，
a的取值范圍是?U(A∩B)={a|a＜0或a=1或a≥

4

3

}．…（16分）

點評：本題主要考查命題的真假的判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)應用，屬于基礎題．