已知n是正整數(shù)，證明不等式

(1)1＋＋＋…＋＜2

(2)1＋＋＋…＜2．

答案：
解析：

 　　解答　　(1)對任意正整數(shù)k(k≥2)，

　　解答　　(1)對任意正整數(shù)k(k≥2)，

　　∵k2＞k(k－1)＞0，

　　∴＜＝－．

　　∴1＋＋＋…＋＜1＋＋＋…＋1＋＝1＋(1－)＋(－)＋…＋(－)＝2－＜2，

　　即1＋＋＋…＋＜2．

　　(2)∵＝＜＝2(－)(k∈N*)，

　　∴1＜2(－)，＜2(－)，＜2(－)，……

　　＜2(－)．

　　以上各式相加，得

　　1＋＋＋…＜2[(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝2．

　　即1＋＋＋…＜2．

　　評析　　對于有關自然數(shù)的命題可以用數(shù)學歸納法論證，本例的兩題從分式結構入手，考慮相鄰自然數(shù)積的倒數(shù)及分母有理化因式，使得推導過程明白清楚，證法的本質采用了放縮的技巧．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知n是正整數(shù)，數(shù)列{an }的前n項和為Sn，a1=1，數(shù)列{
1an
}的前n項和為Tn，數(shù)列{ Tn }的前n項和為Pn，Sn是nan與an的等差中項•
（1）求Sn；
（2）證明：（n+1）Tn+1-nTn-1=Tn；
（3）是否存在數(shù)列{bn}，使Pn=（bn+1）Tn-bn？若存在，求出所有數(shù)列{bn}，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知n是正整數(shù)，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任何正整數(shù)n，等式Sn=-an+
12
（n-3）都成立．
（I）求數(shù)列{an}的首項a1；
（II）求數(shù)列{an}的通項公式；
（III）設數(shù)列{nan}的前n項和為Tn，不等式2Tn≤（2n+4）Sn+3是否對一切正整數(shù)n恒成立？若不恒成立，請求出不成立時n的所有值；若恒成立，請給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知n是正整數(shù)，在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，在數(shù)列{bn}中，b1=a1，
當n≥2時，
bn
an
=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an-1
．
（I）求數(shù)列{an}的通項公式：
（II）求
bn+1
an+1
-
bn+1
an
的值：
（III）當n≥2時，證明：
(b1+1)(b2+1)…(bn+1)
b1b2…bn
＞3-
2
2n
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年云南省高三第二次復習統(tǒng)測數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知n是正整數(shù)，在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，在數(shù)列{bn}中，b1=a1，
當n≥2時，=++…+．
（I）求數(shù)列{an}的通項公式：
（II）求-的值：
（III）當n≥2時，證明：．

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