Question

某公司為了加大產(chǎn)品的宣傳力度，準(zhǔn)備立一塊廣告牌，在其背面制作一個(gè)形如△ABC的支架，要求∠ACB=60°，BC的長(zhǎng)度大于1米，且AC比AB長(zhǎng)0.5米．為節(jié)省材料，要求AC的長(zhǎng)度越短越好．求AC的最短長(zhǎng)度，且當(dāng)AC最短時(shí)，BC的長(zhǎng)度為多少米？

Answer 1

【答案】分析：把三角形的三邊用未知數(shù)表示出來(lái)，利用余弦定理建立方程，將AC的長(zhǎng)度表示成BC長(zhǎng)度的函數(shù)，（題目中要求求AC的最小值）然后再根據(jù)題目條件確定求最值的方法，一般選用單調(diào)性法或者用基本不等式，本題所建立的函數(shù)關(guān)系可以用這兩種方法求最值，故給出了兩種求最值的方法．
解答：解：設(shè)BC=x米（x＞1），AC=y米，則AB=y-．在△ABC中，
由余弦定理，得（y-）²=y²+x²-2xycos60°．所以y=（x＞1）．
法一：y==（x-1）++2≥2+．
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=，即x=1+時(shí)，y有最小值2+．
法二：y′==．
由y′=0得x=1+．因?yàn)楫?dāng)1＜x＜1+時(shí)，y′＜0；當(dāng)x＞1+時(shí)，y′＞0，
所以當(dāng)x=1+時(shí)，y有最小值2+．
答：AC的最短長(zhǎng)度為2+米，此時(shí)BC的長(zhǎng)度為（1+）米．
點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理的應(yīng)用，以之建立相關(guān)的函數(shù)，請(qǐng)答題者在做完這個(gè)題后，注意總結(jié)本題轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn)，在求最值時(shí)要根據(jù)所給函數(shù)的形式靈活選用求最值的方法．