定義在R上的函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且f(x-3)為偶函數(shù),記f(2009)=a,若f(7)>1,則a的取值范圍為________.

(-∞,-1)
分析:根據(jù)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且f(x-3)為偶函數(shù),利用奇偶性定義證出f(x+12)=f(x),得到函數(shù)的周期為12,從而算出a=f(2009)=f(-7)=-f(7),再根據(jù)(7)>1即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:由題意,可得f(-x)=-f(x)且f(-x-3)=f(x-3)
∴兩式加以對(duì)照,可得f(x-3)=f(-x-3)=-f(x+3)
以x+3代替x,可得f(x)=-f(x+6),…①
再以x+6代替x,f(x+6)=-f(x+12),…②
∴對(duì)照①②兩式,可得f(x+12)=f(x),
因此,函數(shù)的最小正周期為T=12
故a=f(2009)=f(12×168-7)=f(-7)=-f(7),
∵f(7)>1,
∴a=-f(7)<-1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-1)
故答案為:(-∞,-1)
點(diǎn)評(píng):本題給出函數(shù)的奇偶性,求函數(shù)的最小正周期并解決實(shí)數(shù)a的取值范圍問題,著重考查函數(shù)奇偶性、周期性和不等式的等價(jià)變形等知識(shí),屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是π,且當(dāng)x∈[0,
π
2
]時(shí),f(x)=sinx,則f(
3
)的值為
 

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20、已知定義在R上的函數(shù)f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函數(shù)F(x)=f(x)-3x2是奇函數(shù),函數(shù)f(x)在x=-1處取極值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)討論f(x)在區(qū)間[-3,3]上的單調(diào)性.

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定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
,當(dāng)x∈(0,4)時(shí),f(x)=x2-1,則f(2010)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤
π
2
),最大值與最小值的差為4,相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)之間距離為π,函數(shù)y=sin(2x+
π
3
)圖象所有對(duì)稱中心都在f(x)圖象的對(duì)稱軸上.
(1)求f(x)的表達(dá)式;    
(2)若f(
x0
2
)=
3
2
(x0∈[-
π
2
π
2
]),求cos(x0-
π
3
)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下對(duì)應(yīng)值表:
x 0 1 2 3
f(x) 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函數(shù)f(x)一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是( 。

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