Question

定義在R上的函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且f（x-3）為偶函數(shù)，記f（2009）=a，若f（7）＞1，則a的取值范圍為________．

Answer 1

（-∞，-1）
分析：根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且f（x-3）為偶函數(shù)，利用奇偶性定義證出f（x+12）=f（x），得到函數(shù)的周期為12，從而算出a=f（2009）=f（-7）=-f（7），再根據(jù)（7）＞1即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：由題意，可得f（-x）=-f（x）且f（-x-3）=f（x-3）
∴兩式加以對(duì)照，可得f（x-3）=f（-x-3）=-f（x+3）
以x+3代替x，可得f（x）=-f（x+6），…①
再以x+6代替x，f（x+6）=-f（x+12），…②
∴對(duì)照①②兩式，可得f（x+12）=f（x），
因此，函數(shù)的最小正周期為T=12
故a=f（2009）=f（12×168-7）=f（-7）=-f（7），
∵f（7）＞1，
∴a=-f（7）＜-1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1）
故答案為：（-∞，-1）
點(diǎn)評(píng)：本題給出函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的最小正周期并解決實(shí)數(shù)a的取值范圍問題，著重考查函數(shù)奇偶性、周期性和不等式的等價(jià)變形等知識(shí)，屬于中檔題．