Question

在如圖所示的幾何體中， 四邊形是正方形,,,且,,.

（Ⅰ）若與交于點,求證:；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

證明：（Ⅰ）如圖，取中點，連，，

           在中，因為分別是的中點，

所以，且，

 又由已知得，，且，

        所以，所以四邊形是平行四邊形，所以………3分

        又，所以 ………4分

     （Ⅱ）如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系

           則，，

             ，，………2分

           所以，

               ，

           所以，

且

           所以，；                        ………4分

又，所以               ………5分

（Ⅲ） 設平面的法向量為

      由（Ⅱ）知，

      所以，令，得  ………2分    

      又平面的法向量為            ………3分    

      設二面角的大小為，是銳角

      則

      所以二面角的余弦值為            ………5分