Question

如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點．

(1)證明B1C1⊥CE；

(2)求二面角B1?CE?C1的正弦值；

(3)設(shè)點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長．

 

 

Answer 1

（1）見解析 （2） （3）

【解析】如圖，以點A為原點，以AD，AA1，AB所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．

(1)證明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1－1)，于是·＝0，所以B1C1⊥CE.

(2)＝(1，－2，－1)．

設(shè)平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，

則，即消去x，得y＋2z＝0，

不妨令z＝1，可得一個法向量為m＝(－3，－2,1)．

由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，

可得B1C1⊥平面CEC1，

故＝(1,0，－1)為平面CEC1的一個法向量．

于是cos〈m，〉＝＝＝，從而sin〈m，〉＝.

所以二面角B1—CE—C1的正弦值為.

(3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．

設(shè)＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．

可取＝(0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量．

設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則

sin θ＝|cos〈，〉|＝

＝＝，

于是＝，解得λ＝(負值舍去)，

所以AM＝.