Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是AC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB₁∥平面BEC₁；
（Ⅱ）若，AB=2，AA₁=，求點(diǎn)A到平面BEC₁的距離；
（Ⅲ）當(dāng)為何值時，二面角E-BC₁-C的正弦值為？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）連接B₁C交BC₁于點(diǎn)F，連接EF，則F為B₁C的中點(diǎn)，根據(jù)E是AC中點(diǎn)，可得EF∥AB₁，從而可證AB₁∥平面BEC₁；
（Ⅱ）由題意知，點(diǎn)A到平面BEC₁的距離即點(diǎn)C到平面BEC₁的距離，過點(diǎn)C作CH⊥C₁E于點(diǎn)H，則可證CH⊥平面BEC₁，故CH為點(diǎn)C到平面BEC₁的距離，由等面積可得結(jié)論；
（Ⅲ）過H作HG⊥BC₁于G，連接CG，由三垂線定理得CG⊥BC₁，故∠CGH為二面角E-BC₁-C的平面角，求出CH、CG，利用二面角E-BC₁-C的正弦值為，即可求得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：連接B₁C交BC₁于點(diǎn)F，連接EF，則F為B₁C的中點(diǎn)

∵E是AC中點(diǎn)，∴EF∥AB₁，
∵AB₁?平面BEC₁，EF?平面BEC₁，
∴AB₁∥平面BEC₁；
（Ⅱ）解：由題意知，點(diǎn)A到平面BEC₁的距離即點(diǎn)C到平面BEC₁的距離
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱
∴BE⊥平面ACC₁A₁，
∵BE?平面BEC₁，
∴平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁，
過點(diǎn)C作CH⊥C₁E于點(diǎn)H，則CH⊥平面BEC₁，∴CH為點(diǎn)C到平面BEC₁的距離
在直角△CEC₁中，CE=1，CC₁=，C₁E=，∴由等面積可得CH=
∴點(diǎn)A到平面BEC₁的距離為；
（Ⅲ）解：過H作HG⊥BC₁于G，連接CG，由三垂線定理得CG⊥BC₁，故∠CGH為二面角E-BC₁-C的平面角
當(dāng)AA₁=2a，AB=b時，
∵
∴在直角△CGH中，sin∠CGH===
∴b=2a
∴==1
∴=1時，二面角E-BC₁-C的正弦值為．
點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查點(diǎn)到面的距離，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定，正確作出表示點(diǎn)面距離的線段，正確作出面面角，屬于中檔題．