Question

15．現(xiàn)有4名同學(xué)去參加校學(xué)生會(huì)活動(dòng)，共有甲、乙兩類(lèi)活動(dòng)可供參加者選擇，為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪類(lèi)活動(dòng)，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲類(lèi)活動(dòng)，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙類(lèi)活動(dòng)．
（1）求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲類(lèi)活動(dòng)的概率；
（2）用X，Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙兩類(lèi)活動(dòng)的人數(shù)．記ξ=|X-Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為$\frac{1}{3}$，去參加乙游戲的人數(shù)的概率為$\frac{2}{3}$．設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），故P（A_i）=${C}_{4}^{i}$（$\frac{1}{3}$）ⁱ（$\frac{2}{3}$）^4-i．由此能求出這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率．
（2）ξ的所有可能取值為0，2，4，由于A₁與A₃互斥，A₀與A₄互斥，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為$\frac{1}{3}$，去參加乙游戲的人數(shù)的概率為$\frac{2}{3}$．
設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），故P（A_i）=${C}_{4}^{i}$（$\frac{1}{3}$）ⁱ（$\frac{2}{3}$）^4-i．
∴這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率為P（A₂）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}=\frac{8}{27}$．
（2）ξ的所有可能取值為0，2，4，由于A₁與A₃互斥，A₀與A₄互斥，
故P（ξ=0）=P（A₂）=$\frac{8}{27}$，
P（ξ=2）=P（A₁）+P（A₃）=$\frac{40}{81}$，
P（ξ=4）=P（A₀）+P（A₄）=$\frac{17}{81}$，
∴ξ的分布列是：

ξ	0	2	4
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{17}{81}$

數(shù)學(xué)期望Eξ=0×$\frac{8}{27}$+2×$\frac{40}{81}$+4×$\frac{17}{81}$=$\frac{148}{81}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率知識(shí)的求解，考查互斥事件的概率公式，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬于中檔題．