Question

【題目】已知函數(shù)

(I)若,函數(shù)的極大值為,求實(shí)數(shù)的值；

(Ⅱ)若對(duì)任意的 在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）

【解析】分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分類討論，根據(jù)單調(diào)性判斷函數(shù)的極大值，確定的值即可；
（2）構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)令，，

則對(duì)恒成立等價(jià)于，

即，對(duì)恒成立，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，對(duì)分類討論得出的范圍即可．

詳解：

（Ⅰ）由題意，

.

①當(dāng)時(shí)，，令，得；，得，

所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.所以的極大值為，不合題意.

②當(dāng)時(shí)，，令，得；，得或，

所以在單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減.

所以的極大值為，得.綜上所述.

（Ⅱ）令，，當(dāng)時(shí)，，

則對(duì)恒成立等價(jià)于，

即，對(duì)恒成立.

①當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)，不合題意.

②當(dāng)時(shí)，令，，

則，其中，，

令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，

時(shí)，，

所以對(duì)，，從而在上單調(diào)遞增，

所以對(duì)任意，，即不等式在上恒成立.

時(shí)，由，及在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以存在唯一的使得，且時(shí)，.

從而時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則時(shí)，，即，不符合題意.

綜上所述，.