Question

已知

a

，

b

是兩個向量，且

a

=（1，

3

cosx），

b

=（cos²x，sinx），x∈R，定義：y=

a

•

b

．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式y(tǒng)=f（x）及其單調(diào)遞增區(qū)間；?
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函數(shù)y=f（x）的最大值、最小值及其相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的向量的坐標(biāo)和定義的函數(shù)，寫出y的表示式，式子是一個三角函數(shù)式，逆用二倍角公式變化為能求解三角函數(shù)性質(zhì)的形式，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間寫出y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）根據(jù)所給的變量x的范圍，寫出2x-

π

3

的范圍，結(jié)合余弦的三角函數(shù)圖象，寫出cos（2x-

π

3

）的范圍，根據(jù)范圍寫出最值和對應(yīng)的變量的取值．

解答：解：（1）∵

a

=（1，

3

cosx），

b

=（cos²x，sinx），
∴

a

•

b

=cos²x+

3

cosx•sinx=cos（2x-

π

3

）+

1

2

，
∴y=cos（2x-

π

3

）+

1

2

．
要求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，
只要使2x-

π

3

∈[2kπ，2kπ+π]
解得單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（2）由x∈[0，

π

2

]，得-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴-

1

2

≤cos（2x-

π

3

）≤1．
∴f（x）_min=0，
此時x=

π

2

；?
f（x）_max=

3

2

，此時x=

π

6

．

點評：本題是一個三角函數(shù)同向量結(jié)合的問題，是以向量的數(shù)量積為條件，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，是一道綜合題，在高考時可以以選擇和填空形式出現(xiàn)，也可以以解答題形式出現(xiàn)．