某下崗職工準(zhǔn)備開(kāi)辦一個(gè)商店,要向銀行貸款若干,這筆貸款按復(fù)利計(jì)算(即本年利息計(jì)入下一年的本金生息),利率為q(0<q<1).據(jù)他估算,貸款后每年可償還A元,30年后還清.
①求貸款金額;
②若貸款后前7年暫不償還,從第8年開(kāi)始,每年償還A元,仍然在貸款30年還清;試問(wèn):這樣一來(lái),貸款金額比原貸款金額要少多少元?
思路 團(tuán)貸款按復(fù)利計(jì)算,所以貸款后每?jī)斈瓯尽⑾⒉幌嗤撀毠で房钪鹉隃p少,直到30年后還清,對(duì)此問(wèn)題可建立數(shù)列模型. 解答 、僭O(shè)貸款金額為x元,則 1年后欠款為a1=x(1+q)-A(元) 2年后欠款為a2=a1(1+q)-A=x(1+q)2-A[(1+q)+1], 3年后欠款為a3=a2(1+q)-A=x(1+q)3-A[(1+q)2+(1+q)+1], 仿此,30年后欠款為 a30=x(1+q)30-A[(1+q)29+(1+q)28+…+1]. 因?yàn)閍30=0,所以x(1+q)30=A, 所以x=·(元); 、谠O(shè)第8年開(kāi)始償還的這種貸款金額為y元,則 8年后欠款為b8=y(tǒng)(1+q)8-A, 9年代欠款為b9=b8(1+q)-A=y(tǒng)(1+q)9-A[(1+q)+A]. 仿此,30年后欠款為 b30=y(tǒng)(1+q)30-A[(1+q)22+(1+q)21+…+1] 因?yàn)閎30=0,所以y(1+q)30=A[(1+q)22+(1+q)21+…+1], 所以y=·(元) 故x-y=·(元). 評(píng)析 從數(shù)學(xué)角度看,本例是解決與數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題.必須認(rèn)真審題,弄清題意,解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于理解復(fù)利的概念及其運(yùn)算,形成用數(shù)學(xué)的意識(shí). |
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