若直線l:x+my+c=0與拋物線y2=2x交于A、B兩點,O點是坐標原點.

(1)當m=-1,c=-2時,求證:OA⊥OB;

(2)若OA⊥OB,求證:直線l恒過定點;并求出這個定點坐標.

(3)當OA⊥OB時,試問△OAB的外接圓與拋物線的準線位置關(guān)系如何?證明你的結(jié)論.

答案:
解析:

  解:設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),由

  可知y1+y2=-2m,y1y2=2c;∴x1x2=2m2-2c;x1x2=c2

  (1)當m=-1,c=-2時,x1x2+y1y2=0所以O(shè)A⊥OB.

  (2)當OA⊥OB時,x1x2+y1y2=0于是c2+2c=0∴c=-2(c=0不合題意),此時,直線l過定點(2,0).

  (3)由題意AB的中點D(就是△OAB外接圓圓心)到原點的距離就是外接圓的半徑.

  而(m2-c+)2-[(m2-c)2+m2]=由(2)知c=-2

  ∴圓心到準線的距離大于半徑,故△OAB的外接圓與拋物線的準線相離.


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