已知函數(shù)f(x)=xm+
2
x
，
（1）若m∈Z，判定f（x）的奇偶性；
（2）若f(4)=
33
2
，判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給予證明．
分析：（1）分m是奇數(shù)，m為偶數(shù)兩種情況來討論，考查定義域及f（-x）與f（x）的關系，依據(jù)奇偶性的定義進行判斷．
（2）由f(4)=
33
2
，得m=2，從而得到f（x）的解析式，設a＞b＞1，化簡f（a）-f（b）的表達式為因式乘積的形式，判斷符號，得出結論．
解答：解：（1）m是奇數(shù)時，定義域是{ x|x≠0}，
f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數(shù)，
m為偶數(shù)時，定義域是{ x|x≠0}，
f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），
f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；

（2）由f(4)=
33
2
，得m=2，∴f(x)=x2+
2
x
，
f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，
證明：設a＞b＞1，f（a）-f（b）=a2+
2
a
-b2-
2
b
=（a+b）（a-b）-
2(b-a)
ab

=（a-b）（a+b-
2
ab
）
∵a＞b＞1，∴a-b＞0，a+b＞
2
ab
，∴（a-b）（a+b-
2
ab
）＞0，
∴f（a）-f（b）＞0，f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)．
點評：本題考查判斷函數(shù)奇偶性的方法及步驟，體現(xiàn)分類討論的數(shù)學思想．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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