在正方形ABCD中,E、F分別為AB、BC的中點,現(xiàn)在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起,使A、B、C三點重合,重合后的點記為P.問:
①依據(jù)題意畫出這個幾何體;
②這個幾何體由哪幾個面構成,每個面的三角形是什么三角形;
③若正方形邊長為2a,則每個面的三角形面積為多少.
【答案】
分析:①這個幾何體是一個四邊體;
②這個幾何體由四個面構成,即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP.由平幾知識,∠DPE=∠EPF=∠DPF=90°,從而判斷△DEF,△DFP、△EFP、△DEP的形狀.
③由②可知,DE=DF=
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174331566378967/SYS201311031743315663789020_DA/0.png)
a,EF=
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174331566378967/SYS201311031743315663789020_DA/1.png)
a,利用三角形的面積公式即可求得每個面的三角形面積.
解答:![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174331566378967/SYS201311031743315663789020_DA/images2.png)
解:①如圖所示.
②這個幾何體由四個面構成,即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP.
由平幾知識可知DE=DF,∠DPE=∠EPF=∠DPF=90°,
所以△DEF為等腰三角形,△DFP、△EFP、△DEP為直角三角形.
③由②可知,DE=DF=
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174331566378967/SYS201311031743315663789020_DA/2.png)
a,EF=
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174331566378967/SYS201311031743315663789020_DA/3.png)
a,所以,S
△DEF=
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174331566378967/SYS201311031743315663789020_DA/4.png)
a
2.DP=2a,EP=FP=a,
所以S
△DPE=S
△DPF=a
2,S
△EPF=
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174331566378967/SYS201311031743315663789020_DA/5.png)
a
2.
點評:本小題主要考查棱錐的結構特征,三角形面積和線面關系等基本知識,同時考查空間想象能力和推理、運算能力.