Question

已知雙曲線

x2

6

-

y2

2

=1，
（1）求以雙曲線的頂點為焦點，焦點為頂點的橢圓E的方程．
（2）點P在橢圓E上，點C（2，1）關于坐標原點的對稱點為D，直線CP和DP的斜率都存在且不為0，試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由．
（3）平行于CD的直線l交橢圓E于M、N兩點，求△CMN面積的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設以雙曲線

x2

6

-

y2

2

=1的頂點為焦點，焦點為頂點的橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，則a²=6+2=8，c²=6，由此能求出橢圓E的方程．
（2）依題意得D點的坐標為（-2，-1），且D點在橢圓E上，直線CP和DP的斜率K_CP和K_DP均存在，設P（x，y），則kCP=

y-1

x-2

，kDP=

y+1

x+2

，由此能推導出直線CP和DP的斜率之積為定值-

1

4

．
（3）直線CD的斜率為

1

2

，CD平行于直線l，設直線l的方程為y=

1

2

x+t，由

y= 1 2 x+t x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2tx+2t²-4=0，△=4t²-4（2t²-4）＞0，解得t²＜4，由此能求出△CMN面積的最大值和此時直線l的方程．

解答：解：（1）∵雙曲線

x2

6

-

y2

2

=1的頂點為（±

6

，0），焦點為（±2

2

，0），
設以雙曲線的頂點為焦點，焦點為頂點的橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
則a²=6+2=8，c²=6，
∴橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

2

=1．…（3分）
（2）依題意得D點的坐標為（-2，-1），
且D點在橢圓E上，直線CP和DP的斜率K_CP和K_DP均存在，設P（x，y），
則kCP=

y-1

x-2

，kDP=

y+1

x+2

，
∴kCP•kDP=

y-1

x-2

•

y+1

x+2

=

y2-1

x2-4

，…（5分）
∵點Q在橢圓E上，∴x²=8-4y²，k_CP•k_DP=

y2-1

x2-4

=-

1

4

．
∴直線CP和DP的斜率之積為定值-

1

4

．…（7分）
（3）∵直線CD的斜率為

1

2

，CD平行于直線l，
設直線l的方程為y=

1

2

x+t，
由

y= 1 2 x+t x2 8 + y2 2 =1

，消去y，整理得x²+2tx+2t²-4=0，
△=4t²-4（2t²-4）＞0，解得t²＜4，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-2tx₁•x₂=2t²-4．…（10分）
∴|MN|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+( 1 2 )2

•|x1-x2|
=

1+( 1 2 )2

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

4-t2

，-2＜t＜2．…（11分）
點C到直線MN的距離為d=

|t|

1 4 +1

=

2|t|

5

，…（12分）
∴S△CMN=

1

2

|MN|•d
=

1

2

•

5

•

4-t2

•

2|t|

5

=|t|•

4-t2

=

t2(4-t2)

≤

( t2+4-t2 2 )2

=

4

2

=2．
當且僅當t²=4-t²，即t²=2時，取等號．…（13分）
∴△CMN面積的最大值為2，此時直線l的方程為y=

1

2

x±

2

．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積最大值的求法及此時直線方程的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意點到直線的距離公式的靈活應用．