Question

已知：函數(shù)g（x）=a（x-1）³+b（a≠0）在點（0，b-a）處的切線與x-y-1=0平行，且g（2）=

2

3

，若g'（x）為g（x）的導函數(shù)，設函數(shù)f（x）=

g′(x)

x

．
（1）求a、b的值及函數(shù)f（x）的解析式；
（2）如果關于x的方程f（|2^x-1|）+t•（

4

|2x-1|

-1）=0有三個相異的實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義建立條件關系即可求a、b的值及函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將方程化簡，利用換元法結合數(shù)形結合即可得到結論．

解答： 解：（1）g′（x）=3a（x-1）²，g′（0）=3a，
∵g（x）在x=0處的切線與x-y-1=0平行，
∴切線的斜率為1，
則3a=1，即a=

1

3

，
又∵g（2）=

2

3

，
∴a+b=

2

3

，
則b=

2

3

-a=

1

3

，
那么 g(x)=

1

3

(x-1)3+

1

3

，
∴g′（x）=（x-1）³
則a=b=

1

3

，
∴f（x）=x+

1

x

-2．
（2）∵f（|2^x-1|）+t•（

4

|2x-1|

-1）=0，
∴|2^x-1|+

1

|2x-1|

+

4t

|2x-1|

-3t-2=0．
令u=|2^x-1|＞0，則u²-（3t+2）u+（4t+1）=0，①
記方程①的根為u₁，u₂，當0＜u₁＜1＜u₂時，原方程有三個相異實根，
記g（u）=u²-（3t+2）u+（4t+1），由題可知，

g(0)=4t+1＞0 g(1)=t＜0

或

g(0)=4t+1＞0 g(1)=t=0 0＜ 3t+2 2 ＜1

，
解得-

1

4

＜t＜0時滿足題設．

點評：本題主要考查導數(shù)的綜合應用，利用導數(shù)和函數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強運算量較大．