Question

（2009安徽卷理）（本小題滿分13分）

點(diǎn)在橢圓上，直線與直線垂直，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的傾斜角為，直線的傾斜角為.

（I）證明: 點(diǎn)是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)；         

（II）證明:構(gòu)成等比數(shù)列.

Answer 1

解析：本小題主要考查直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程，直線和曲線的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)。考查綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題、解決問題的能力。本小題滿分13分。

解：（I）（方法一）由得代入橢圓,

得.

將代入上式,得從而

因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點(diǎn)P.          

(方法二)顯然P是橢圓與的交點(diǎn)，若Q是橢圓與的交點(diǎn)，代入的方程，得

即故P與Q重合。

（方法三）在第一象限內(nèi)，由可得

橢圓在點(diǎn)P處的切線斜率

切線方程為即。

因此，就是橢圓在點(diǎn)P處的切線。

根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，P是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)。

（II）的斜率為的斜率為

由此得構(gòu)成等比數(shù)列。