Question

已知(

3	x

+2x2)2n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和比（3x-2）ⁿ的展開式的系數(shù)和大1023．求(2x-

1

x

)2n的展開式中：
（1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）對x進(jìn)行賦值，令x=1，即可得到關(guān)于n的方程，求出n，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可求出二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)
（2）設(shè)出第r+1項(xiàng)為系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)，即可列出關(guān)于r的不等式

C10r210-r≥C10(r-1)210-r+1 C10r210-r≥C10(r+1)210-r-1

，即可求解

解答：解：由題意可得，(

3	x

+2x2)2n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和2²ⁿ，
在（3x-2）ⁿ中，令x=1可得展開式的系數(shù)和為1
∴2²ⁿ-1=1023
∴n=5，(2x-

1

x

)2n的展開式的通項(xiàng)Tr+1=

C

r 10

(2x)10-r(-

1

x

)r=(-1)r210-r

C

r 10

x10-2r 
（1）當(dāng)n=5時2n=10，(2x-

1

x

)2n的展開式中共有11項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為r=5時，即第6項(xiàng)，T6=

- 32C

5 10

（2）要求(2x-

1

x

)2n的展開式中系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)，只要求(2x+

1

x

)10展開式中系數(shù)最大的值
由 

C10r210-r≥C10(r-1)210-r+1 C10r210-r≥C10(r+1)210-r-1

，
∴

1 r ≥ 2 11-r 2 10-r ≥ 1 1+r

，解不等式組可得

8

3

≤r≤

11

3

∴r=3
T4=

C

3 10

(2x)7(-

1

x

)3=-27

C

3 10

x4

點(diǎn)評：本題通過賦值法求出n，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，同時利用展開式的通項(xiàng)進(jìn)行求解，屬于中檔題．