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如圖,,雙曲線M是以B、C為焦點且過A點.
(Ⅰ)建立適當的坐標系,求雙曲線M的方程;
(Ⅱ)設過點E(1,0)的直線l分別與雙曲線M的左、右支交于
F、G兩點,直線l的斜率為k,求k的取值范圍.;
(Ⅲ)對于(Ⅱ)中的直線l,是否存在k≠0使|OF|=|OG|若有求出k的值,若沒有說明理由.(O為原點)
【答案】分析:(1)以BC邊的中點為原點,BC邊所在直線為x軸,建立直角坐標系,則B,C坐標可得,設出A的坐標,進而可表示出,,進而由,求得A點的橫坐標和縱坐標,設雙曲線方程標準方程,把A坐標代入,以及雙曲線的焦距進而求得a和b,雙曲線方程可得.
(2)當l⊥x軸時,l與雙曲線無交點.當l不垂直x軸時,可設l的方程:y=k(x-1)與雙曲線方程聯(lián)立,消去y,進而根據判別式大于0求得k的范圍.
(3)若|OF|=|OG|,三角形OFG中,設M是FG的中點,則有:OM⊥FG,由(2)可求的交點的橫坐標之和,進而可表示出中點M的坐標,表示出直線OM和FG的斜率相乘,看結果是不是-1.
解答:解:(I)以BC邊的中點為原點,BC邊所在直線為x軸,
建立直角坐標系,
,
,


,得

設雙曲線方程為
,∴
∴雙曲線M的方程為;
(II)當l⊥x軸時,l與雙曲線無交點.
當l不垂直x軸時,可設l的方程:y=k(x-1)
,消去y,得(1-2k2)x2+4k2x-2(k2+2)=0
∵l與雙曲線的左、右兩支分別交于F(x1,y1),G(x2,y2),

(Ⅲ)若|OF|=|OG|,三角形OFG中,設M是FG的中點,
則有:OM⊥FG
由(II)易得,中點M
則應有:KOMKFG=-1,即,顯然不成立,
所以不存在這樣的k值使|OF|=|OG|.
點評:本題主要考查了雙曲線的方程.涉及了直線與雙曲線的關系,考查了學生綜合分析問題的能力和基本的運算能力.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,△ABC中,BC=2
3
AB
AC
=4,
AC
CB
=2
,雙曲線M是以B、C為焦點且過A點.
(Ⅰ)建立適當的坐標系,求雙曲線M的方程;
(Ⅱ)設過點E(1,0)的直線l分別與雙曲線M的左、右支交于
F、G兩點,直線l的斜率為k,求k的取值范圍.;
(Ⅲ)對于(Ⅱ)中的直線l,是否存在k≠0使|OF|=|OG|若有求出k的值,若沒有說明理由.(O為原點)

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如圖,,雙曲線M是以B、C為焦點且過A點.

(Ⅰ)建立適當的坐標系,求雙曲線M的方程;

(Ⅱ)設過點E(1,0)的直線l分別與雙曲線M的左、右支交于F、G兩點,直線l的斜率為k,求k的取值范圍.

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(本題滿分12分)如圖,,雙曲線M是以B、C為焦點且過A點.(Ⅰ)建立適當的坐標系,求雙曲線M的方程;

(Ⅱ)設過點E(1,0)的直線l分別與雙曲線M的左、右支交于

F、G兩點,直線l的斜率為k,求k的取值范圍.;

(Ⅲ)對于(II)中的直線l,是否存在k使|OF|=|OG|

若有求出k的值,若沒有說明理由.(O為原點)

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如圖,,雙曲線M是以B、C為焦點且過A點.(Ⅰ)建立適當的坐標系,求雙曲線M的方程;(Ⅱ)設過點E(1,0)的直線l分別與雙曲線M的左、右支交于F、G兩點,直線l的斜率為k,求k的取值范圍.;

(Ⅲ)對于(II)中的直線l,是否存在k使|OF|=|OG|

若有求出k的值,若沒有說明理由.(O為原點)

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