Question

已知圓C的圓心在直線上，并且與直線相切于點A（2，－1）.
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）從圓C外一點M引圓C的切線MN，N為切點，且MN＝MO（O為坐標(biāo)原點），求MN的最小值.

Answer 1

（1）；（2）MN的最小值為此時點M的坐標(biāo)為.

本試題主要是考查了直線與圓的方程，以及圓的切線方程的綜合知識的運用。第一問中求解圓的方程，確定圓心和半徑即可。第二問中，；利用設(shè)坐標(biāo)，表示MN＝MO，然后化簡得到MN為一個元的二次函數(shù)形式，借助于二次函數(shù)的性質(zhì)求解其最值的數(shù)學(xué)思想的運用。
解：（1）與直線相切于點A（2，－1）的圓的圓心在經(jīng)過點A且與直線 垂直的直線上，該直線的方程是.                            …………2分
又所求圓的圓心在直線上，解方程組
                        
得x＝1，y＝－2.
所以圓心C的坐標(biāo)是（1，－2）.                                    …………4分
因為|AC|＝，                            …………5分
所以所求圓的方程為…………6分
（2）設(shè)M（x，y），則MO＝，MN＝，
由MN＝MO，得，                              …………8分
MN＝MO＝＝
…………11分
當(dāng)時，MN＝因此，MN的最小值為此時點M的坐標(biāo)為.
…………13分