Question

3．已知F₁、F₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F₂作雙曲線漸近線的垂線，垂足為P，若|PF₁|²-|PF₂|²=c²．則雙曲線離心率的值為2．

Answer 1

分析 求出雙曲線的一條漸近線方程，運用點到直線的距離公式，求得|PF₂|=b，運用余弦函數(shù)的定義和余弦定理，計算即可得到所求值．

解答 解：設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
F₂（c，0）到漸近線的距離為d=|PF₂|=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
cos∠POF₂=$\frac{\sqrt{{c}^{2}-^{2}}}{c}$=$\frac{a}{c}$，
在△POF₁中，|PF₁|²=|PO|²+|OF₁|²-2|PO|•|OF₁|•cos∠POF₁
=a²+c²-2ac•（-$\frac{a}{c}$）=3a²+c²，
則|PF₁|²-|PF₂|²=3a²+c²-b²=4a²，
∵|PF₁|²-|PF₂|²=c²，
∴4a²=c²，
∴e=2．
故答案為2．

點評 本題考查考查雙曲線的離心率，考查距離的平方差，注意運用雙曲線的漸近線方程和點到直線的距離公式，同時考查余弦定理的運用，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．