【題目】已知在正整數(shù)n的各位數(shù)字中，共含有個1，個2，，個n．證明：并確定使等號成立的條件．

【答案】見解析

【解析】

對正整數(shù)n的位數(shù)使用數(shù)學歸納法．

當是一位數(shù)，即時，所證式顯然成立，

這是因為，此時的十進制表達式中只有一位數(shù)字，

即，其余，所以，左邊==右邊．

假設當正整數(shù)不超過k位，即時，結論皆成立．

現(xiàn)考慮為位數(shù)，即時的情形．

設的首位數(shù)字為r．則. ①

若，則在數(shù)的各位數(shù)字中，，其余.

顯然，.

若，記的各位數(shù)字中含有個1，個2，…，個r，…，個9．

則的各位數(shù)字中，含有個r、個j.

注意到，正整數(shù)不超過k位．

由歸納法假設，對有

②

則當為位數(shù)時，結論也成立．

故由數(shù)學歸納法，知對一切正整數(shù)，結論皆成立．

欲使等號成立，由證明過程，知要么為一位數(shù)；要么在的位數(shù)大于或等于2時，由式②，必須，此時，由式①得，

即可表示為的形式.

上述條件也是充分的，當能夠表成以上形式時，有，其余.

故

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