Question

（2010•昆明模擬）過拋物線y²=ax（a＞0）焦點(diǎn)F作斜率為1的直線交拋物線于P₁、P₂兩點(diǎn)，以P₁P₂為直徑的圓心M到準(zhǔn)線的距離為8，則此圓的方程是（　�。�

A．（x-6）²+（y-4）²=64

B．（x-4）²+（y-6）²=64

C．（x-2）²+（y-3）²=16

D．（x-3）²+（y-2）²=16

Answer 1

分析：由拋物線的方程表示出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，表示出過F且斜率為1的直線方程，與拋物線解析式聯(lián)立組成方程組，消去y得到關(guān)于x的方程，設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出M的橫坐標(biāo)，根據(jù)M到準(zhǔn)線的距離為8列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出直線方程及M的橫坐標(biāo)，求出M的縱坐標(biāo)，即為圓心坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出|P₁P₂|的長，其一半即為圓的半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．

解答：解：由拋物線y²=ax（a＞0），得到焦點(diǎn)F（

a

4

，0），準(zhǔn)線為x=-

a

4

，
則過焦點(diǎn)斜率為1的直線方程為y=x-

a

4

，
與拋物線方程聯(lián)立，消去y得：（x-

a

4

）²=ax，即16x²-24ax+a²=0，
設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），可得x₁+x₂=

3a

2

，
∴線段P₁P₂的中點(diǎn)M橫坐標(biāo)為

3a

4

，
∴M到準(zhǔn)線的距離d=

3a

4

-（-

a

4

）=a=8，
∴直線方程為y=x-2，M橫坐標(biāo)為6，
將x=6代入直線方程，解得y=4，
∴M（6，4），
又|P₁P₂|=x₁+x₂+

a

2

=16，
∴圓M的半徑為8，
則所求圓的方程為（x-6）²+（y-4）²=64．
故選A

點(diǎn)評：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識有：拋物線的簡單性質(zhì)，韋達(dá)定理，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，其中根據(jù)題意確定出圓心與半徑是解本題的關(guān)鍵．