在平面直角坐標(biāo)系中，長度為3的線段AB的端點A、B分別在軸上滑動，點M在線段AB上，且,

（1）若點M的軌跡為曲線C，求其方程；

（2）過點的直線與曲線C交于不同兩點E、F，N是曲線上不同于E、F的動點，求面積的最大值.

 

（1）C的方程是；（2）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，則.用定比分點坐標(biāo)公式可得與之間的關(guān)系式，將此關(guān)系式代入即得只含的方程，此即M的軌跡方程.（2）首先考慮直線的斜率不存在的情況，即，此時.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，，聯(lián)立，再用韋達(dá)定理即得（含k的代數(shù)式）.由題知過N的直線，且與橢圓切于N點時，最大，故設(shè)

聯(lián)立與橢圓方程得，此時.的距離即為點N到EF的距離，所以，化簡，平方后利用導(dǎo)數(shù)可得其最大值.

（1）由題知，設(shè)

有代入得，

所以曲線C的方程是 4分

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，即，此時 5分

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，

聯(lián)立，有.

7分

由題知過N的直線，且與橢圓切于N點時，最大，故設(shè)

聯(lián)立與橢圓方程得，此時

的距離，所以

化簡 10分

設(shè)，有

，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，即時

綜上所述 .13分.

考點：1、軌跡方程的求法；2、直線與圓錐曲線的關(guān)系；3、利用導(dǎo)數(shù)求最值.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若復(fù)數(shù)z=-
1
2
+
3
2
i，則復(fù)數(shù)z3=（　�。�
A、1B、-1C、2D、-2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x，y滿足
x2+y2≤16
y≥1
，則
x2+2y(y-4)
y
的最大值為（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年四川省資陽市高三下學(xué)期4月高考模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知實數(shù)，執(zhí)行右圖所示的程序框圖，則輸出x的值不小于55的概率為（ ）

（A） （B） （C） （D）

 

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已知定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，函數(shù)關(guān)于直線對稱，則下列式子一定成立的是（ ）

B.

C. D.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年四川省高三二診模擬文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

設(shè)函數(shù) 則函數(shù)的零點個數(shù)為 個．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年四川省高三二診模擬文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

某程序框圖如右圖所示，現(xiàn)輸入如下四個函數(shù)，則可以輸出的函數(shù)是（ ）

A． B． C． D．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年四川省高三三診模擬理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

形如的函數(shù)稱為“冪指型函數(shù)”，它的求導(dǎo)過程可概括成：取對數(shù)——兩邊對求導(dǎo)——代入還原；例如：，取對數(shù)，對求導(dǎo)，代入還原；給出下列命題:

①當(dāng)時，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是；②當(dāng)時，函數(shù)在上單增，在上單減；③當(dāng)時，方程有根；④當(dāng)時，若方程有兩根，則；

其中正確的命題是

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年四川省高三三診模擬理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

某程序框圖如圖所示，若使輸出的結(jié)果不大于20，則輸入的整數(shù)的最大值為（ ）

A .3 B.4 C.5 D.6

 

 

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