Question

下列四個(gè)命題中，真命題的序號(hào)有

①③④

（寫出所有真命題的序號(hào)）．
①兩個(gè)相互垂直的平面，一個(gè)平面內(nèi)的任意一直線必垂直于另一平面內(nèi)的無數(shù)條直線．
②圓x²+y²+4x+2y+1=0與直線y=

1

2

x相交，所得弦長為2．
③若sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，則tanαcotβ=5．
④如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，P為底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，P到平面AA₁D₁D的距離與到直線CC₁的距離相等，則P點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分．

Answer 1

分析：①利用面面垂直的性質(zhì)判斷．②利用直線和圓的位置關(guān)系判斷．③利用兩角和差的正弦公式求值．④利用拋物線的定義判斷．

解答：解：①根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知，兩個(gè)相互垂直的平面，一個(gè)平面內(nèi)的任意一直線必垂直于另一平面內(nèi)的無數(shù)條直線，所以①正確．
②圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）²+（y+1）²=4，圓心坐標(biāo)為（-2，-1），半徑為2．
因?yàn)閳A心在直線y=

1

2

x，所以直線與圓相交，相應(yīng)的弦長為直徑4，所以②錯(cuò)誤．
③由sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，得

sinαcosβ+cosαsinβ= 1 2 sinαcosβ-cosαsinβ= 1 3

，
解得

sinαcosβ= 5 12 cosαsinβ= 1 12

，所以兩式相除得tanαcotβ=5，所以③正確．
④連結(jié)PC，則PC是點(diǎn)P到直線CC₁的距離，過P作PE垂直于直線AD，則PE到平面AA₁D₁D的距離為PE，
因?yàn)镻到平面AA₁D₁D的距離與到直線CC₁的距離相等，所以PC=PE，滿足拋物線的定義，
 所以P點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分，所以④正確．
故正確的命題為①、③、④．
故答案為：①、③、④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查命題的真假判斷，牽扯的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．