Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=CD，AB∥CD，∠ADC=90°．
（1）在側棱PC上是否存在一點Q，使BQ∥平面PAD？證明你的結論；
（2）求證：平面PBC⊥平面PCD；

Answer 1

【答案】
解：（1）當Q為側棱PC中點時，有BQ∥平面PAD．
證明如下：如圖，取PD的中點E，連AE、EQ．
∵Q為PC中點，則EQ為△PCD的中位線，
∴EQ∥CD且EQ=CD．
∵AB∥CD且AB=CD，∴EQ∥AB且EQ=AB，
∴四邊形ABQE為平行四邊形，則BQ∥AE．
∵BQ平面PAD，AE平面PAD，
∴BQ∥平面PAD．
（2）證：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AE平面PAD，∴CD⊥AE．
∵PA=AD，E為PD中點，∴AE⊥PD．
∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
∵BQ∥AE，∴BQ⊥平面PCD．
∵BQ平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．
【解析】（1）當Q為側棱PC中點時，有BQ∥平面PAD．取PD的中點E，連AE、EQ．只需證明平面PAD外的直線BQ平行于平面PAD內(nèi)的直線AE，即可．
（2）要證平面PBC⊥平面PCD，只需證明AE垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線CD、PD，BQ∥AE，BQ平面PBC即可；
【考點精析】掌握直線與平面平行的性質(zhì)和平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．