Question

下列四個命題：
①命題“若x²-3x+2=0，x=1”的逆否命題為“若x≠1，則x²-3x+2≠0”；
②若命題p：“?x∈R，使得x²+x+1＜0．”則￢P：“?x∈R，x²+x+1≥0”；
③對于平面向量

a

，

b

，

c

，若 

a

≠

b

，則

a

•

c

=

b

•

c

；
④已知u，v為實數(shù)，向量

a

，

b

不共線，則u

a

+v

b

=0的充要條件是u=v=0．
其中真命題有

①②④

（填上所有真命題的序號）．

Answer 1

分析：①根據(jù)命題“若p，則q”的逆否命題是“若￢q，則￢p”可判斷出原命題的逆否命題的真假；
②根據(jù)命題“?x∈R，結論p成立”的非命題是“?x∈R，結論p的反面成立”可判斷出其真假；
③若

a

-

b

與非零向量

c

不垂直，則(

a

-

b

)•

c

≠0，可知③的真假；
④我們知道：當u=v=0時，u

a

+v

b

=0；若向量

a

與

b

不共線，由u

a

+v

b

=

0

，則u=v=0，由上可知④的真假．

解答：解：①根據(jù)命題“若p，則q”的逆否命題是“若￢q，則￢p”可知：命題“若x²-3x+2=0，x=1”的逆否命題
應為“若x≠1，則x²-3x+2≠0”，因此①是真命題；
②根據(jù)命題“?x∈R，結論q成立”的非命題是“?x∈R，結論q的反面成立”可知：若命題p：“?x∈R，使得x²+x+1＜0．”則￢P是：“?x∈R，x²+x+1≥0”，故②是真命題；
③若

a

-

b

與非零向量

c

不垂直，則(

a

-

b

)•

c

≠0，可知③是假命題；
④我們知道：當u=v=0時，u

a

+v

b

=0；若向量

a

與

b

不共線，由u

a

+v

b

=

0

，則u=v=0，由上可知：若u，v為實數(shù)，向量

a

，

b

不共線，u

a

+v

b

=

0

的充要條件是u=v=0．因此④是真命題．
故真命題是①②④．

點評：本題以方程、不等式、向量為載體綜合考查了四種命題、非命題及充要條件，準確掌握以上知識是解決問題的關鍵．