17.已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)的圖象過點(2,4),定義域為R,f(x)=$\frac{-g(x)+n}{2g(x)+m}$是奇函數(shù).
(1)試確定函數(shù)y=g(x)的解析式;
(2)求實數(shù)m,n的值;
(3)判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論.

分析 (1)指數(shù)函數(shù)y=g(x)的圖象過點(2,4),坐標(biāo)帶入,可求解析式.
(2)根據(jù)f(x)是奇函數(shù).f(-x)=-f(x),f(0)=0,求解m,n的值.
(3)利用定義證明其單調(diào)性.

解答 解:(1)由題意,已知g(x)是指數(shù)函數(shù),設(shè)g(x)=ax(a>0且a≠1)其圖象過點(2,4),
∴a2=4
∵a>0且a≠1.
∴a=2
即g(x)=2x
故得g(x)的解析式為g(x)=2x
(2)由(1)可知$f(x)=\frac{{-{2^x}+m}}{{{2^{x+1}}+m}}$
∵f(x)是R上的奇函數(shù),則有f(-x)=-f(x),f(0)=0,
∴$\frac{-1+n}{4+m}=0∴n=1$
又由f(1)=-f(-1)可知$\frac{-2+1}{4+m}=-\frac{{-\frac{1}{2}+1}}{1+m}∴m=2$
∴實數(shù)m,n的值分別為m=2,n=1.
(3)由(2)可知$f(x)=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$.
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知:y=2x+1是增函數(shù),
∴y=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$是減函數(shù),
故$f(x)=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$是減函數(shù),
證明:設(shè)x1<x2,
則$f({x}_{1})-f({x}_{2})=\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}-1}-\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}-1}$
∵x1<x2
∴${2}^{{x}_{2}}-1>{2}^{{x}_{1}}-1$,
∴$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}-1}>\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}-1}$
故f(x1)>f(x2).
∴函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù).

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)的解析式求法,函數(shù)性質(zhì)的運用以及單調(diào)性的證明.屬于基礎(chǔ)題.

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