Question

設函數f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）．
（1）若a=2，b=-2，求函數f（x）的極值；
（2）若x=1是函數f（x）的一個極值點，試求出a關于b的關系式（即用a表示b），并確定f（x）的單調區(qū)間；（提示：應注意對a的取值范圍進行討論）
（3）在（2）的條件下，設a＞0，函數g（x）=（a²+14）e^x+4．若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出導函數的根，判斷根左右兩邊導函數的符號，得到函數的單調性，據極大值極小值的定義求出極值．
（2）據極值點處的導函數值為0得到a，b的關系；代入導函數中求出導函數的兩根，討論兩根的大��；判斷根左右兩邊導函數的符號，據導函數與單調性的關系求出單調區(qū)間．
（3）據函數的單調性求出兩根函數的值域，求出函數值的最小距離，最小距離小于1求出a的范圍
解答：解：（1）∵f'（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+b）e^x=[x²+（2+a）x+（a+b）]e^x
當a=2，b=-2時，f（x）=（x²+2x-2）e^x則f'（x）=（x²+4x）e^x
令f'（x）=0得（x²+4x）e^x=0，∵e^x≠0∴x²+4x=0，解得x₁=-4，x₂=0
∵當x∈（-∞，-4）時，f'（x）＞0，當x∈（-4，0）時f'（x）＜0，當x∈（0，+∞）時f'（x）＞0
∴當x=-4時，函數f（x）有極大值，f（x）_極大=，
當x=0時，函數f（x）有極小值，f（x）_極小=-2．
（2）由（1）知f'（x）=[x²+（2+a）x+（a+b）]e^x
∵x=1是函數f（x）的一個極值點
∴f'（1）=0即e[1+（2+a）+（a+b）]=0，解得b=-3-2a
則f'（x）=e^x[x²+（2+a）x+（-3-a）]=e^x（x-1）[x+（3+a）]
令f'（x）=0，得x₁=1或x₂=-3-a
∵x=1是極值點，∴-3-a≠1，即a≠-4
當-3-a＞1即a＜-4時，由f'（x）＞0得x∈（-3-a，+∞）或x∈（-∞，1）
由f'（x）＜0得x∈（1，-3-a）
當-3-a＜1即a＞-4時，由f'（x）＞0得x∈（1，+∞）或x∈（-∞，-3-a）
由f'（x）＜0得x∈（-3-a，1）
綜上可知：當a＜-4時，單調遞增區(qū)間為（-∞，1）和（-3-a，+∞），遞減區(qū)間為（1，-3-a）
當a＞-4時，單調遞增區(qū)間為（-∞，-3-a）和（1，+∞），遞減區(qū)間為（-3-a，1）
（3）由（2）知，當a＞0時，f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調遞減，在區(qū)間（1，4）上單調遞增，
∴函數f（x）在區(qū)間[0，4]上的最小值為f（1）=-（a+2）e
又∵f（0）=be^x=-（2a+3）＜0，f（4）=（2a+13）e⁴＞0，
∴函數f（x）在區(qū)間[0，4]上的值域是[f（1），f（4）]，即[-（a+2）e，（2a+13）e⁴]
又g（x）=（a²+14）e^x+4在區(qū)間[0，4]上是增函數，
且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[（a²+14）e⁴，（a²+14）e⁸]
∵（a²+14）e⁴-（2a+13）e⁴=（a²-2a+1）e⁴=（a-1）²e⁴≥0，
∴存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜1
成立只須僅須（a²+14）e⁴-（2a+13）e⁴＜1．
點評：本題考查利用導函數研究函數的極值：極值點處的值為0；研究函數的單調性：導數大于0對應區(qū)間為單調遞增區(qū)間，導數小于0對應區(qū)間為單調遞減區(qū)間；將存在性問題轉化成最值問題．