Question

【題目】對于定義在上的函數(shù)，若函數(shù)滿足：①在區(qū)間上單調(diào)遞減;②存在常數(shù)，使其值域為，則稱函數(shù)是函數(shù)的“漸近函數(shù)”.

（1）求證：函數(shù)不是函數(shù)的“漸近函數(shù)”；

（2）判斷函數(shù)是不是函數(shù)，的“漸近函數(shù)”，并說明理由；

（3）若函數(shù)，，，求證：是函數(shù)的“漸近函數(shù)”充要條件是.

Answer 1

【答案】見解析；是,理由見解析；見解析.

【解析】

利用指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)性的性質(zhì)證明出函數(shù)至少不滿足定義中兩條性質(zhì)中的一條即可;

用反比例函數(shù)的單調(diào)性可以判斷函數(shù)是否滿足定義中的兩條性質(zhì),進而可以判斷出函數(shù)是不是函數(shù)，的“漸近函數(shù)”；

根據(jù)定義可知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性的定義可以求出的取值范圍,再利用定義中的第二條性質(zhì)再求出的取值范圍,最后對兩個范圍取交集即為的值.

證明:因為函數(shù)=

即,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,

函數(shù)滿足在上單調(diào)遞減;

當(dāng)時,，，

所以當(dāng)時,函數(shù)趨近于負無窮大,

此時不滿足存在常數(shù)，使其值域為,

所以函數(shù)不是函數(shù)的“漸近函數(shù)”；

函數(shù)是函數(shù)，的“漸近函數(shù)”,理由如下:

因為,

化簡可得,，

由反比例函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)是減函數(shù);

當(dāng)時, 函數(shù)有最大值為,

所以存在使函數(shù)的值域為

由此可得滿足條件①②.

證明:(必要性)因為是函數(shù)的“漸近函數(shù)”,

令,則在區(qū)間上單調(diào)遞減;

設(shè),且則有

因為,且，所以,

即,

因為在區(qū)間上單調(diào)遞減,且,

所以必有，即有,

所以必有成立;

因為在區(qū)間上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)時,有最大值為,

即函數(shù)的值域必為，

即當(dāng)時,有,即必有成立,

化簡可得,即,

所以此時有成立;

綜上可知,滿足條件①②的實數(shù)為.

(充分性)當(dāng)時,，

由反比函數(shù)的單調(diào)性知,滿足

在區(qū)間上單調(diào)遞減,且其值域為,滿足條件①②;

所以是函數(shù)的“漸近函數(shù)”充要條件是.