Question

口袋里裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，這4個(gè)球除顏色外完全相同，4個(gè)人按順序依次從中摸出一球.試計(jì)算第二個(gè)人摸到白球的概率.

   

Answer 1

分析：我們只需找出4個(gè)人按順序依次摸球的所有可能結(jié)果數(shù)和第二個(gè)人摸到白球的可能結(jié)果數(shù).為此考慮用列舉法列出所有可能結(jié)果.

    解法一：用A表示事件“第二個(gè)人摸到白球”.把2個(gè)白球編上序號(hào)1，2；2個(gè)黑球也編上序號(hào)1，2.于是，4個(gè)人按順序依次從袋中摸出一球的所有可能結(jié)果，可用樹(shù)狀圖直觀(guān)地表示出來(lái)（如下圖所示）.

    樹(shù)狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法.從上面的樹(shù)狀圖可以看出，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)為24.由于口袋內(nèi)的4個(gè)球除顏色外完全相同，因此，這24種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的，試驗(yàn)屬于古典概型.在這24種結(jié)果中，第二個(gè)人摸到白球的結(jié)果有12種，因此“第二個(gè)人摸到白球”的概率

    P（A）=，

    還可以建立另外的模型來(lái)計(jì)算“第二個(gè)人摸到白球”的概率.如果建立的模型能使得試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)變少，那么我們計(jì)算起來(lái)就更簡(jiǎn)便.

    解法二：因?yàn)槭怯?jì)算“第二個(gè)人摸到白球”的概率，所以我們可以只考慮前兩人摸球的情況.前兩人依次從袋中摸出一球的所有可能結(jié)果可用樹(shù)狀圖列舉出來(lái)（如下圖）.

    從上面的樹(shù)狀圖可以看出，這個(gè)模型的所有可能結(jié)果數(shù)為12，因?yàn)榭诖�里�?個(gè)球除顏色外完全相同，因此，這12種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的，這個(gè)模型也是古典概型.在上面12種結(jié)果中，第二個(gè)人摸到白球的結(jié)果有6種，因此“第二個(gè)人摸到白球”的概率

P（A）=.

    這里，我們是根據(jù)事件“第二個(gè)人摸到白球”的特點(diǎn)，利用試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)稱(chēng)性，只考慮前兩人摸球的情況，從而簡(jiǎn)化了模型.

    還可以從另外一個(gè)角度來(lái)考慮這個(gè)問(wèn)題.因?yàn)榭诖�里�?個(gè)球除顏色外完全相同，因此，可以對(duì)2個(gè)白球不加區(qū)別，對(duì)2個(gè)黑球也不加區(qū)別，這樣建立的模型的所有可能結(jié)果數(shù)就會(huì)更少，由此得到例1的另一種解法.

    解法三：只考慮球的顏色，4個(gè)人按順序依次從袋中摸出一球的所有可能結(jié)果可用樹(shù)狀圖列舉出來(lái)（如下圖）

    試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)為6，并且這6種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的，這個(gè)模型是古典概型.在這6種結(jié)果中，第二個(gè)人摸到白球的結(jié)果有3種，因此“第二個(gè)人摸到白球”的概率

P（A）=.

下面再給出一種更為簡(jiǎn)單的解法.

    解法四：只考慮第二個(gè)人摸出的球的情況，他可能摸到這4個(gè)球中的任何一個(gè)，這4種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的.第二個(gè)人摸到白球的結(jié)果有2種，因此“第二個(gè)人摸到白球”的概率

    P（A）=.