Question

（本小題滿分12分）已知函數，其中a，b∈R，e＝2．718 28 為自然對數的底數.

（1）設是函數的導函數，求函數g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值；

（2）若f（1）＝0，函數在區(qū)間（0，1）內有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）當時，g（x）在[0,1]上的最小值是g（0）＝1－b;

當<a<時，g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e－2a－b；

當a≥時g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e－2a－b．；

（2）（e－2，1）

【解析】

試題分析：（1）由f（x）＝ex－ax2－bx－1，得g（x）＝f′（x）＝ex－2ax－b．

所以g′（x）＝ex－2a．

當x∈[0，1]時，g′（x）∈[1－2a，e－2a]．

當a≤時，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上單調遞增，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）＝1－b；

當a≥時，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上單調遞減，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e－2a－b； 3分

當<a<時，令g′（x）＝0，得x＝ln（2a）∈（0，1），所以函數g（x）在區(qū)間[0,ln2a]上單調遞減，在區(qū)間（ln2a,1]上單調遞增，于是g（x）在[0,1]上的最小值是

綜上所述，當時，g（x）在[0,1]上的最小值是g（0）＝1－b;

當<a<時，g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e－2a－b；

當a≥時g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e－2a－b． 6分

（2）設x0為f（x）在區(qū)間（0，1）內的一個零點，

則由f（0）＝f（x0）＝0可知，f（x）在區(qū)間（0，x0）上不可能單調遞增，也不可能單調遞減．

則g（x）不可能恒為正，也不可能恒為負．

故g（x）在區(qū)間（0，x0）內存在零點x1．

同理g（x）在區(qū)間（x0，1）內存在零點x2．

故g（x）在區(qū)間（0，1）內至少有兩個零點．

由（1）知，當a≤時，g（x）在[0，1]上單調遞增，故g（x）在（0，1）內至多有一個零點；

當a≥時，g（x）在[0，1]上單調遞減，故g（x）在（0，1）內至多有一個零點，都不合題意．

所以<a<．

此時g（x）在區(qū)間[0，ln（2a）]上單調遞減，在區(qū)間（ln（2a），1]上單調遞增．

因此x1∈（0，ln（2a）]，x2∈（ln（2a），1），必有

g（0）＝1－b>0，g（1）＝e－2a－b>0．

由f（1）＝0得a＋b＝e－1<2，

則g（0）＝a－e＋2>0，g（1）＝1－a>0，

解得e－2<a<1．

當e－2<a<1時，g（x）在區(qū)間[0，1]內有最小值g（ln（2a））． 9分

若g（ln（2a））≥0，則g（x）≥0（x∈[0，1]），

從而f（x）在區(qū)間[0，1]內單調遞增，這與f（0）＝f（1）＝0矛盾，所以g（ln（2a））<0．

又g（0）＝a－e＋2>0，g（1）＝1－a>0．

故此時g（x）在（0，ln（2a））和（ln（2a），1）內各只有一個零點x1和x2．

由此可知f（x）在[0，x1]上單調遞增，在（x1，x2）上單調遞減，在[x2，1]上單調遞增．

所以f（x1）>f（0）＝0，f（x2）<f（1）＝0，

故f（x）在（x1，x2）內有零點．

綜上可知，a的取值范圍是（e－2，1）．

故g（x）≤0，即f（x）≤2x－2． 12分

考點：本題考查用導函數求最值和判斷單調性

點評：解決本題關鍵是求導求出單調性，找到最值，得到函數的性質，找到零點