中國(guó)隊(duì)與韓國(guó)隊(duì)進(jìn)行6場(chǎng)乒乓球表演賽,中國(guó)隊(duì)3名女子單打的勝率分別為
4
5
,
3
4
2
3
,中國(guó)隊(duì)3名男子單打的勝率均為
1
2
,且各場(chǎng)比賽結(jié)果互不影響.
(1)求3名女子單打全勝的概率;
(2)在6場(chǎng)比賽中,中國(guó)隊(duì)男女各勝一場(chǎng)的概率;
(3)中國(guó)隊(duì)獲勝場(chǎng)次ξ的分布列和期望(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)).
分析:(1)根據(jù)中國(guó)隊(duì)3名女子單打的勝率分別為
4
5
,
3
4
,
2
3
,可求3名女子單打全勝的概率;
(2)設(shè)Ai表示男子比賽獲勝的場(chǎng)次k=0,1,2,3,Bi表示女子比賽獲勝的場(chǎng)次 i=0,1,2,3,則Ai,Bi獨(dú)立,利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式,可求中國(guó)隊(duì)男女各勝一場(chǎng)的概率;
(3)確定ξ的所有可能值為0,1,2,3,4,5,6,求出其概率,即可得到ξ的分布列與期望.
解答:解:(1)∵中國(guó)隊(duì)3名女子單打的勝率分別為
4
5
,
3
4
,
2
3
,∴3名女子單打全勝的概率P=
4
5
×
3
4
×
2
3
=
2
5

(2)設(shè)Ai表示男子比賽獲勝的場(chǎng)次k=0,1,2,3,Bi表示女子比賽獲勝的場(chǎng)次 i=0,1,2,3,則Ai,Bi獨(dú)立.
由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式有P(Ak)=
C
k
3
(
1
2
)k

∴P(A0)=
1
8
,P(A1)=
3
8
,P(A2)=
3
8
,P(A3)=
1
8
;P(B0)=
1
60
,P(B1)=
3
20
,P(B2)=
13
30
,P(B3)=
2
5

中國(guó)隊(duì)男女各勝一場(chǎng)的概率為P(A1•B1)=
3
8
×
3
20
=
9
160

(3)ξ的所有可能值為0,1,2,3,4,5,6.
P(ξ=0)=P(A0•B0)=
1
480
,P(ξ=1)=P(A0•B1)+P(A1•B0)=
12
480
,
P(ξ=2)=P(A0•B2)+P(A1•B1)+P(A2•B0)=
56
480
,
P(ξ=3)=P(A0•B3)+P(A1•B2)+P(A2•B1)+P(A3•B0)=
130
480

P(ξ=4)=P(A1•B3)+P(A2•B2)+P(A3•B1)=
159
480

P(ξ=5)=P(A2•B3)+P(A3•B2)=
98
480

P(ξ=6)=P(A3•B3)=
24
480

綜上知,ξ的分布列
ξ 0 1 2 3 4 5 6
P
1
480
12
480
56
480
130
480
159
480
98
480
24
480
從而,ξ的期望Eξ=
1784
480
=
223
60
≈3.7
點(diǎn)評(píng):本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率,考查離散型隨機(jī)變量的期望與分布列,確定變量的取值,求出概率是關(guān)鍵.
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