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己知函數數學公式，
（Ⅰ）證明函數f（x）是R上的增函數；
（Ⅱ）求函數f（x）的值域．
（Ⅲ）令數學公式．判定函數g（x）的奇偶性，并證明．

解：（Ⅰ）設x，x是R內任意兩個值，且x1＜x2，則x2-x1＞0
y2-y1=f（x2）-f（x1）=-
==
當x1＜x2時，＜
∴-＞0．又+1＞0，+1＞0
∴y2-y1＞0
∴f（x）是R上的增函數．
（Ⅱ）：（1）∵，又2x＞0，
∴-1＜y＜1
函數f（x）的值域為（-1，1）；
（Ⅲ）由題意知g（x）=•
易知函數g（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
g（-x）=•=•=-•=-g（x）
∴函數g（x）為奇函數．
分析：（Ⅰ）先對函數作適當變形，再利用定義證明，先在定義域上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形，與零比較，由定義得到結論．
（Ⅱ）利用有界法求解，將函數看作方程，解得 ，再由2x＞0，解得y的范圍，即為所求．
（Ⅲ）求出函數g（x）的定義域，利用函數奇偶性的定義加以判斷即可得到結論．
點評：本題主要考查函數奇偶性、值域的求法和單調性的證明，值域常見方法有單調性法，基本函數法，有界性法，判別式法等，證明單調性一般有定義法，導數法，考查運算能力以及分析問題解決問題的能力．屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

己知函數f(x)=
2x-1
2x+1
，
（Ⅰ）證明函數f（x）是R上的增函數；
（Ⅱ）求函數f（x）的值域．
（Ⅲ）令g(x)=
x2
2f(x)
．判定函數g（x）的奇偶性，并證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

己知函數f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象點的兩點，橫坐標為
1
2
的點P是M，N的中點．
（1）求證：y1+y2的定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*，n≥2)，an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
(n∈N*)，Tn為數列{an}前n項和，當Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立時，試求實數m的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，設bn=
1
4(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1
，Bn為數列{bn}前n項和，證明：Bn＜
17
52
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

己知函數f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象點的兩點，橫坐標為
1
2
的點P是M，N的中點．
（1）求證：y1+y2的定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*，n≥2)，求Sn；
（3）設an=
1
4(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1
，Tn為數列{an}前n項和，證明：Tn＜
17
52
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

己知函數f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足以下三條件：
①當x1，x2是定義域中的數時，有f（x1-x2）=
f(x1)•f(x2)+1f(x2)-f(x1)
；
②f（a）=-1（a＞0，a是定義域中的一個數）；
③當0＜x＜2a時，f（x）＜0．
（1）試證明函數f（x）是奇函數．
（2）試證明f（x）在（0，4a）上是增函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

(本小題滿分14分)

    己知函數，(Ⅰ)證明函數是R上的增函數；

(Ⅱ)求函數的值域．(Ⅲ)令．判定函數的奇偶性，并證明

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