Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+2bx-1（b∈R）．
（1）若函數(shù)y=f（x）與x軸的兩個交A（x₁，0），B（x₂，0）點之間的距離為2，求b的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+x+b=0的兩個實數(shù)根分別在區(qū)間（-3，-2），（0，1）內(nèi)，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)根與系數(shù)之間的關(guān)系將條件|x₁-x₂|=2進行轉(zhuǎn)化即可求b的值；
（2）根據(jù)方程和函數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)根的分布建立不等式關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)y=f（x）與x軸的兩個交A（x₁，0），B（x₂，0）點之間的距離為2，
∴|x₁-x₂|=2，
由f（x）=x²+2bx-1=0，
得x₁+x₂=-2b，x₁x₂=-1，
∵|x₁-x₂|²=|x₁+x₂|²-4x₁x₂=4，
∴4b²+4=4，即4b²=0，
解得b=0．
（2）∵f（x）+x+b=0，
∴設(shè)g（x）=x²+（2b+1）x+b-1，
∵方程f（x）+x+b=0的兩個實數(shù)根分別在區(qū)間（-3，-2），（0，1）內(nèi)，
∴滿足

g(-3)＞0 g(-2)＜0 g(0)＜0 g(1)＞0

⇒

1

3

＜b＜1．

點評：本題主要考查二次函數(shù)根的分布以及一元二次方程中根與系數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力．