Question

畫出不等式|x|+|y|≤1的圖形，并指出其解的范圍．利用不等式的圖形解不等式
①|(zhì)|x+1|-|x-1||＜1；      
②|x|+2|y|≤1．

Answer 1

分析：畫出不等式|x|+|y|≤1的圖形是如圖所示的正方形ABCD及其內(nèi)部區(qū)域，其解的范圍是正方形ABCD及其內(nèi)部區(qū)域的點(diǎn)．
①對于不等式||x+1|-|x-1||＜1，根據(jù)絕對值的意義求得 ①|(zhì)|x+1|-|x-1||＜1的解集為（-

1

2

，

1

2

）．
對于不等式 ②|x|+2|y|≤1，可得|y|≤

1

2

（1-|x|），其中，-1≤x≤1，它的解集是菱形AECF及其內(nèi)部的點(diǎn)，

解答：解：畫出不等式|x|+|y|≤1的圖形是如圖所示的正方形ABCD及其內(nèi)部區(qū)域，
其解的范圍是正方形ABCD及其內(nèi)部區(qū)域的點(diǎn)．
①對于不等式||x+1|-|x-1||＜1，
由于||x+1|-|x-1||表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到-1對應(yīng)點(diǎn)的距離減去
x對應(yīng)點(diǎn)到1對應(yīng)點(diǎn)的距離的絕對值，其中，-1≤x≤1．
而-

1

2

和

1

2

應(yīng)點(diǎn)到-1對應(yīng)點(diǎn)的距離減去它們對應(yīng)點(diǎn)到1對應(yīng)點(diǎn)
的距離的絕對值正好等于1，
故①|(zhì)|x+1|-|x-1||＜1的解集為（-

1

2

，

1

2

）．
對于不等式 ②|x|+2|y|≤1，可得|y|≤

1

2

（1-|x|），
其中，-1≤x≤1，它的解集是菱形AECF及其內(nèi)部的點(diǎn)，如圖所示：

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．