Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱D₁D的中點，點F在棱B₁B上，且滿足B₁F=2BF．
（1）求證：EF⊥A₁C₁；    
（2）求幾何體ABFED的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)B₁D₁，BD，由已知條件推導(dǎo)出A₁C₁⊥DD₁，從而得到A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．由此能證明EF⊥A₁C₁．
（2）求出梯形BDEF的面積，即可求幾何體ABFED的體積．

解答： （1）證明：連結(jié)B₁D₁，BD，∵四邊形A₁B₁C₁D₁是正方形，∴B₁D₁⊥A₁C₁．
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，∴A₁C₁⊥DD₁．
∵B₁D₁∩DD₁=D₁，B₁D₁，DD₁?平面BB₁D₁D，∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．
∵EF?平面BB₁D₁D，∴EF⊥A₁C₁．
（2）解：連接AC交BD于點O，由于ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，
∴AA₁∥BB₁，AA₁=BB₁，BB₁∥CC₁，BB₁=CC₁，AA₁∥CC₁，AA₁=CC₁，
∴四邊形AA₁C₁C為平行四邊形，AC∥A₁C₁，AC=A₁C₁
由（1）知，A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，∴AC⊥平面BB₁D₁D，∴AO⊥平面BB₁D₁D，
由AC=

AB2+BC2

=

a2+a2

=

2

a，
∴AO=

1

2

AC=

2

2

a，
在直角梯形BDEF中，直角腰BD=AC=

2

a，上底BF=

1

3

BB₁=

1

3

a，下底DE=

1

2

DD₁=

1

2

a，
因此梯形BDEF的面積SBDEF=

1

2

(BF+DE)•BD=

1

2

×(

a

3

+

a

2

)×

2

a=

5 2

12

a2，
因此幾何體ABFED的體積VABFED=

1

3

AO•SBDEF=

1

3

×

2

2

a×

5 2

12

a2=

5

36

a3．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系與幾何體體積的計算等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．