已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，且.
⑴證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并寫出通項公式；
⑵若對恒成立，求的最小值；
⑶若成等差數(shù)列，求正整數(shù)的值.

（1）證明見解析，；（2）3；（3）

解析試題分析：（1）要證數(shù)列是等比數(shù)列，可根據(jù)題設(shè)求出，當(dāng)然也可再求，雖然得出的成等比數(shù)列，但前面有限項成等比不能說明所有項都成等比，必須嚴(yán)格證明．一般方法是把已知式中的用代換得到，兩式相減得，這個式子中把用代換又得，兩式再相減，正好得出數(shù)列的前后項關(guān)系的遞推關(guān)系，正是等比數(shù)列的表現(xiàn)．（2）由題間，對不等式用分離參數(shù)法得，求的最小值就與求的最大值（也只要能是取值范圍）聯(lián)系起來了．（3）只能由成等差數(shù)列列出唯一的等式，這個等式是關(guān)于的二元方程，它屬于不定方程，有無數(shù)解，只是由于都是正整數(shù)，利用正整數(shù)的性質(zhì)可得出具體的解．
試題解析：（1）當(dāng)n=1時，；當(dāng)n=2時，
當(dāng)n3時，有 得：
化簡得：    3分
又   ∴
∴是1為首項，為公比的等比數(shù)列
      6分
（2）
∴   ∴      11分
（3）若三項成等差，則有
，右邊為大于2的奇數(shù)，左邊為偶數(shù)或1，不成立
∴      16分
考點(diǎn)：（1）等比數(shù)列的通項公式；（2）不等式恒成立與函數(shù)的最值；（3）不定方程的正整數(shù)解問題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a2=6,a5=12,數(shù)列{bn}的前n項和是Sn,且Sn+bn=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.
(3)記cn=,{cn}的前n項和為Tn,若Tn<對一切n∈N*都成立,求最小正整數(shù)m.

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已知等比數(shù)列的公比為，是的前項和．
（1）若，，求的值；
（2）若，，有無最值？并說明理由；
（3）設(shè)，若首項和都是正整數(shù)，滿足不等式：，且對于任意正整數(shù)有成立，問：這樣的數(shù)列有幾個？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，其中為正實數(shù)．
（1）用表示；
（2）,若，試證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（3）若數(shù)列的前項和，記數(shù)列的前項和，求．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)已成為當(dāng)代潮流．某大學(xué)大三學(xué)生夏某今年一月初向銀行貸款兩萬元作開店資金，全部用作批發(fā)某種商品．銀行貸款的年利率為6%，約定一年后一次還清貸款．已知夏某每月月底獲得的利潤是該月月初投人資金的15％，每月月底需要交納個人所得稅為該月所獲利潤的20%,當(dāng)月房租等其他開支1500元，余款作為資金全部投入批發(fā)該商品再經(jīng)營，如此繼續(xù)，假定每月月底該商品能全部賣出．
（1)設(shè)夏某第n個月月底余元，第n+l個月月底余元，寫出a1的值并建立與的遞推關(guān)系；
（2）預(yù)計年底夏某還清銀行貸款后的純收入．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知等差數(shù)列中，；是與的等比中項．
(I)求數(shù)列的通項公式：
(II)若．求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知等比數(shù)列滿足．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）在與之間插入個數(shù)連同與按原順序組成一個公差為（）的等差數(shù)列．
①設(shè)，求數(shù)列的前和；
②在數(shù)列中是否存在三項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知等比數(shù)列中，，，等差數(shù)列中，，且．
⑴求數(shù)列的通項公式；
⑵求數(shù)列的前項和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

給定數(shù)列.對，該數(shù)列前項的最大值記為，后項的最小值記為，.
（Ⅰ）設(shè)數(shù)列為，，，，寫出，，的值；
（Ⅱ）設(shè)是公比大于的等比數(shù)列，且.證明：是等比數(shù)列.
（Ⅲ）設(shè)是公差大于的等差數(shù)列，且，證明：是等差數(shù)列.

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