Question

若f（x）為奇函數(shù)且在（0，+∞）上遞增，又f（2）=0，則

f(x)-f(-x)

x

＞0的解集是（　�。�

A．（-2，0）∪（0，2）

B．（-∞，2）∪（0，2）

C．（-2，0）∪（2，+∞）

D．（-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且f（2）=0，得到當(dāng)0＜x＜2時，f（x）＜0；當(dāng)x≥2時，f（x）≥0．再結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)證出：當(dāng)x≤-2時，f（x）≤0且-2＜x＜0時，f（x）＞0，最后利用這個結(jié)論，將原不等式變形，討論可得所求解集．

解答：解：∵f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且f（2）=0，
∴當(dāng)0＜x＜2時，f（x）＜0；當(dāng)x≥2時，f（x）≥0
又∵f（x）是奇函數(shù)
∴當(dāng)x≤-2時，-x≥2，可得f（-x）≥0，從而f（x）=-f（-x）＜0．即x≤-2時f（x）≤0；
同理，可得當(dāng)-2＜x＜0時，f（x）＞0．
不等式

f(x)-f(-x)

x

＞0可化為：

2f(x)

x

＞0，即

f(x)

x

＞0
∴

f(x)＞0 x＞0

或

f(x)＜0 x＜0

，解之可得x＞2或x＜-2
所以不等式

f(x)-f(-x)

x

＞0的解集為：（-∞，-2）∪（2，+∞）．
故選：D．

點評：本題以抽象函數(shù)為例，在已知f（x）的單調(diào)性和奇偶性的基礎(chǔ)之上求解關(guān)于x的不等式，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的知識點，屬于中檔題．