Question

選修4-5：不等式選講
已知|x-2y|=5，求證：x²+y²≥5．

Answer 1

解：由柯西不等式，得（x²+y²）[1²+（-2）²]≥（x-2y）²
即5（x²+y²）≥（x-2y）²=|x-2y|²
∵|x-2y|=5，
∴5（x²+y²）≥25，化簡得x²+y²≥5．
當(dāng)且僅當(dāng)2x=-y時，即x=-1，y=2時，x²+y²的最小值為5
∴不等式x²+y²≥5成立．
分析：根據(jù)柯西不等式，得5（x²+y²）≥|x-2y|²，結(jié)合已知等式|x-2y|=5，得x²+y²≥5，再利用不等式取等號的條件加以檢驗即可．
點評：本題給出條件等式，叫我們證明不等式恒成立，考查了運用柯西不等式證明不等式恒成立和不等式的等價變形等知識，屬于基礎(chǔ)題．