Question

某單位設(shè)計(jì)一個(gè)展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，布設(shè)一個(gè)對(duì)角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示，為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根5米長(zhǎng)的材料彎折而成，邊BA，AD用一根9米長(zhǎng)的材料彎折而成，要求和互補(bǔ)，且AB=BC

(1)  設(shè)AB=x米，cosA=，求的解析式，并指出x的取值范圍．

(2)  求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

（1）在△ABD中，由余弦定理得BD²＝AB²+AD²－2AB·AD·cosA．

同理，在△CBD中，BD²＝CB²+CD²－2CB·CD·cosC． 因?yàn)椤?i>A和∠C互補(bǔ)，

所以AB²+AD²－2AB·AD·cosA＝CB²+CD²－2CB·CD·cosC＝CB²+CD²＋2CB·CD·cosA．

即 x²+(9－x)²－2 x(9－x) cosA＝x²+(5－x)²＋2 x(5－x) cosA．　

解得  cosA＝，即f( x)＝．其中x∈(2，5)．　

（2）四邊形ABCD的面積S＝(AB·AD+ CB·CD)sinA＝[x(5－x)+x(9－x)] ．　

＝x(7－x)  

記g(x)＝(x²－4)( x²－14x＋49)，x∈(2，5)．

由g′(x)＝2x( x²－14x＋49)＋(x²－4)( 2 x－14)＝2(x－7)(2 x²－7 x－4)＝0，

解得x＝4(x＝7和x＝－舍)．                  

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(2，4)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(4，5)內(nèi)單調(diào)遞減．

因此g(x)的最大值為g(4)＝12×9＝108．所以S的最大值為＝6．

答：所求四邊形ABCD面積的最大值為6m²．